jueves, 8 de diciembre de 2011

Cómo evaluar transformadas de Laplace utilizando Wolfram Alpha

La transformada de Laplace es una herramienta muy útil para resolver problemas que en muchas ocasiones generan ecuaciones diferenciales muy complejas y por consiguiente, difíciles de resolver. Este tipo de ecuaciones se originan por ejemplo, durante el análisis de circuitos electrónicos.

Transformar significa convertir una cosa en otra distinta. Precisamente la Transformada de Laplace convierte una función en otra a través de un proceso de integración. Sin embargo, a pesar de ser una herramienta diseñada para facilitar la resolución de ecuaciones diferenciales, el proceso de encontrar la transformada de Laplace puede resultar complicado en algunos casos. Para auxiliarnos en la verificación de nuestros resultados cuando estamos calculando esta transformada, podemos utilizar Wolfram Alpha.

Supongamos que queremos calcular la siguiente transformada de Laplace:

Para obtener el resultado, introducimos en el recuadro de búsqueda de Wolfram Alpha (este cuadro de texto es un recuadro de borde color naranja que tiene un signo de "igual" del lado derecho) la expresión de la transformada como a continuación se muestra:

Laplace transform ((1 - e^t + 3e^(-4t)) * cos(5t))

El resultado que calcula Wolfram Alpha es el siguiente:

Además de generar el resultado, Wolfram Alpha también muestra la gráfica de la función para varios rangos de valores así como formas alternas del resultado y los pasos para obtenerlas.

En otros casos, es necesario calcular la transformada inversa de Laplace. Esta operación también puede hacerse mediante Wolfram Alpha.

Por ejemplo, ahora supongamos que queremos encontrar la transformada inversa de Laplace de la expresión:

En el mismo recuadro de búsqueda en Wolfram Alpha, tendríamos que introducir a la expresión de esta forma:

inverse Laplace transform (2s - 4)/((s^2 + s)(s^2 + 1))

El resultado de Wolfram Alpha es:

Esta expresión contiene un producto en el denominador, por lo que también podríamos haberla escrito indicando el producto mediante un asterisco (*) y obtendríamos el mismo resultado:

inverse Laplace transform (2s - 4)/((s^2 + s)*(s^2 + 1))

7 comentarios:

  1. Muy útil la información, gracias.

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  2. ¡Gracias por la info! ¿Sabes si se pueden resolver transformadas de derivadas?

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    1. Hola! Gracias por el interés y la pregunta. Al parecer sí se puede evaluar la transformada de Laplace con una derivada. Escribí el siguiente ejemplo:

      Laplace transform (derivative of ((1 - e^t + 3e^(-4t)) * cos(5t)))

      Wolfram alpha lo interpretó como una derivada parcial con respecto a t y arrojó un resultado que puedes observar si copias mi ejemplo en la caja de texto de Wolfram alpha.

      Espero que esta información sea útil.

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  3. Existe algún método para encontrar una función de transferencia transformando una EDO ?

    ejemplo: y''+2y'+y=3x /*Laplace con y(0)=2; y'(0)=0

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  4. Hola Pablo! Por lo que he visto hasta el momento, no hay una forma directa de calcular la función de transferencia desde la EDO, probablemente lo mejor es hacer tus operaciones en dos pasos: primero obtener la transformada de Laplace y después obtener la función de transferencia.

    Encontré estas dos páginas que parecen ser muy útiles para que puedas obtener el resultado que estás buscando. Si es así, ojalá lo puedas compartir para enriquecer la información presentada en este post:

    Tips para calcular EDOs:
    http://blog.wolframalpha.com/2014/02/03/ordinary-differential-equations-odes-made-easy/

    Para obtener funciones de transferencia:
    https://www.wolframalpha.com/examples/ControlSystems.html

    Muchas gracias por tu comentario. Espero que esta información te sirva.

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  5. hola, consulta no me aparese el paso a pasa cuando ocupla la transformada de la place o la inversar en el wolfarmalpha

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    1. Hola,

      Desafortunadamente los servicios que muestran paso a paso cómo se obtiene el resultado fueron eliminados de la versión gratuita. Gracias por comentar.

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