Cómo evaluar integrales múltiples utilizando Wolfram Alpha

Wolfram Alpha es una herramienta muy versátil. Además de poder evaluar derivadas e integrales simples, también permite conocer el resultado de integrales múltiples. Solamente hay que acostumbrarse a la notación utilizada para poder introducir una de estas integrales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de evaluar la siguiente integral en Wolfram Alpha:

Debemos introducirla en el recuadro naranja donde se llevan a cabo las consultas y cálculos de la siguiente manera:

int (z) dz dx dy, z = 0 to sqrt(4 - x - y^2), x=0 to sqrt(1 - y^2), y=0 to 1

Donde "int" representa la operación de integración, el argumento entre paréntesis siguiente al operando int es el integrando (si es que lo hay), seguido por las diferenciales de las variables (en este caso x, y, y z) y finalmente los límites para cada variable comenzando con aquélla cuya diferencial aparezca enseguida del integrando. Los límites para cada variable se separan por comas.

El resultado en la página de Wolfram Alpha luciría de la siguiente manera:

Porción de la página de Wolfram Alpha que contiene la operación realizada

En ocasiones es posible obtener un procedimiento y una gráfica, sin embargo, cuando esto no es posible, aún podemos utilizar Wolfram Alpha para corroborar los resultados obtenidos en nuestros cálculos al aplicar técnicas conocidas de integración. Si das click en el letrero "More digits", Wolfram Alpha te proporcionará varias decenas de los dígitos que corresponden al resultado si es que éste es un número irracional.

Dentro de las funciones que también podemos utilizar se encuentran las trigonométricas (como el seno que se  escribe sin), las exponenciales (únicamente introduciendo la letra "e" seguida del símbolo de exponente y lo que se desea que constituya el exponente para la base e), las logarítmicas (Wolfram Alpha utiliza el símbolo "log" para identificar al logaritmo natural) e inclusive las hiperbólicas (ejemplo: sinh es el seno hiperbólico).

Para poder introducir una integral fácilmente, es posible utilizar como plantillas los ejemplos que ya proporciona Wolfram Alpha, para ello, hay que dirigirse desde la página principal al enlace que dice "Examples by Topic", de ahí a "Mathematics" -> "Calculus" -> "Integrals" y en el apartado de "Multiple Integrals", utiliza la plantilla que más se parezca al ejemplo que deseas evaluar.

¿Qué hacer si Wolfram Alpha no muestra los pasos intermedios para llegar a un resultado?

Ahora bien, en ocasiones Wolfram Alpha no despliega los pasos intermedios que sigue para obtener un resultado. Esto puede deberse a que utiliza técnicas que quizá desde el punto de vista de una computadora son más sencillas (por ejemplo a través de aproximaciones), mientras que nosotros obtenemos el resultado de la operación de manera simbólica (a través de identidades, fórmulas, despejes sencillos).

Sea cual sea el caso, si no existen pasos intermedios, podemos utilizar Wolfram Alpha para verificar el resultado de nuestros cálculos. Independientemente de la técnica que utilicemos o las operaciones intermedias que realicemos para obtener una respuesta, podemos comparar nuestros resultados con los que nos ofrece Wolfram Alpha para verificarlos.

Por ejemplo, podemos descomponer la integral múltiple que se planteó al principio y utilizar Wolfram Alpha para calcular la más interna de la siguiente manera:

int (z) dz, z = 0 to sqrt(4 - x - y^2)

El resultado es el siguiente:

En esta ocasión Wolfram Alpha no muestra los pasos intermedios porque se trata de un caso básico de integracion. Lo que podemos hacer es realizar la integral y verificar que obtengamos el mismo resultado. Una vez que verificamos esta parte, podemos ahora sustituir este resultado para encontrar la integral siguiente en la integral múltiple original:

int (1/2(-x - y^2 + 4)) dx, x=0 to sqrt(1 - y^2)

Para obtener:

Y finalmente, el resultado de esta integral utilizarlo para resolver la última integral con respecto a y:

int (1/4((1 - 2*sqrt(1 - y^2))y^2 + 8*sqrt(1 - y^2) - 1)) dy, y=0 to 1

Y así verificar el resultado final:

De esta manera, si existe alguna duda acerca del resultado de una integral múltiple como esta, puede ser de más ayuda el observar cómo se van resolviendo cada una de las integrales mediante la sustitución del resultado de cada una de ellas desde la más interna hasta la última o más externa.