Solución de desigualdades matemáticas

El siguiente ejercicio se me hizo muy interesante (3/(x-9)) > (2/(x+2)) Mi primer impulso fue resolverla moviendo los denominadores 3x + 6 > 2x -18 x > -24 Pero esta no es la manera correcta de resolverla, simplemente probemos x=0 -1/3 > 1 --> incorrecto ¿Por qué esta mal esta solución? El problema es que no conocemos el signo de los denominadores, es decir, x-9 es negativo cuando x<9 y es positivo cuando x>9, por lo que al querer mover el denominador al otro lado de la desigualdad, no podemos determinar si tenemos que invertir el signo de la desigualdad. Cuando trabajemos con desigualdades sólo podemos multiplicar o dividir por expresiones que tengan el mismo signo en todo su dominio. ¿Entonces cómo se resuelve? La desigualdad la podemos transformar de la siguiente manera: (3/(x-9)) > (2/(x+2)) (3/(x-9)) - (2/(x+2)) > 0 (x+24)/((x-9)(x+2)) > 0 De aquí ya podemos analizar los dos casos que satisfacen nuestra desigualdad: (1) cuando el numerador y denominador son positivos, (2) cuando el numerador y denominador son negativos. La solución es x pertenece a (-24, -2) unión (9, infinito). Saludos.