Cómo utilizar el cambio de ejes para resolver una integral múltiple (ejemplo)

Supongamos que se pide evaluar la siguiente integral:

Tal parece que para esta integral es inútil recurrir a la sustitución simple, la sustitución trigonométrica, las fórmulas de integración contenidas en los formularios más usuales y por supuesto, es virtualmente imposible realizarla de manera directa, así que, ¿Qué podemos hacer para simplificar la tarea de evaluar una integral semejante? La respuesta es muy simple: realizar un cambio de ejes. 

Primero debemos reconocer que al tratarse de una integral doble que posee un integrando, en realidad estamos ante una integral triple, es decir, debemos pensar en tres dimensiones. La gráfica de las curvas en cuestión se obtiene mediante el análisis de la expresión, observándola en términos de las dimensiones x y y, podemos apreciar que y está delimitada por una línea recta en y = 1 y cero y  x está delimitada por la curva "raíz de y" y la recta x = 1. La curva que representa el integrando se levanta sobre el eje z a partir de z = 1. De modo que si nos situamos hipotéticamente sobre el eje z y observamos la base de estas gráficas, este sería el resultado:

Gráfica realizada con ayuda de Wolfram Alpha

La base del volumen que se pretende evaluar por medio de esta integral está marcada en azul. Ahora bien, si observamos la integral tal y como está, nos encontraremos en serios problemas a la hora de encontrar una solución apropiada, sin embargo, podemos invertir el orden en el que están evaluando las variables x y y y obtener como resultado la siguiente expresión:

Ahora, el diferencial de x se evalúa desde cero hasta 1, por lo tanto, para poder obtener la expresión que corresponde a los límites del diferencial de y, es necesario despejar a y. Despejando la raíz de y obtenemos y = x^2, por lo que éste es el nuevo límite aplicable a y.

Esta expresión resulta muy sencilla de evaluar, ya que el integrando se encuentra en términos de x y la variable respecto de la que hay que integrar es y, por lo tanto, el integrando se convierte en una constante y se puede integrar como tal. El resultado es el siguiente: